Teodolíto de papel

El teodolíto

El teodolíto es un instrumento que permite medir ángulos, la utilidad típica al obtener los ángulos es poder determinar distancias que son difíciles de medir directamente (por ejemplo con una regla) aunque lógicamente son usados también para nivelar: alisar un terreno, hacer una rampa con una determinada inclinación, asegurar que la pendiente de una carretera es la correcta, fijar las columnas (alejadas entre sí) de un edificio, etc. Por todo ésto, parece lógico que sea una de las grandes herramientas de los topógrafos.

Seguramente alguna vez te habrás preguntado en alguna ocasión que altura tendría tal o cual objeto: la torre de una iglesia al visitar un pueblo, una montaña al hacer una excursión, ese árbol tan alto que hay en ese parque o símplemente que altura tiene la casa en la que vives. Quizás también te has preguntado a que distancia se encuentra un edificio, una torre o la cima de una montaña. Con un teodolíto (y una tabla de tangentes o calculadora) es fácil responder a todas estas preguntas.

En este documento, se muestran diferentes formas de obtener estos valores con cierta exactitud ¡y sin tener que llevar un teodolíto consigo y sin disponer de ninguna tabla de tangentes!.

Construcción del teodolíto de papel y medición básica

Supongamos que allí donde nos encontramos, no tenemos una escuadra, ni un transportador de ángulos, ni una regla, ni una calculadora ni por suspuesto un teodolíto ni una tabla de tangentes. ¿Qué podemos hacer?. Bueno, si tenemos un trozo de papel, podremos calcular alturas y distancias de multitud de objetos si se cumple que:

• El terreno en el que estamos, es plano.

¿No hace falta nada más?, no, nada más, claro que dependiendo de donde nos encontremos (relativamente al objeto a medir) tendremos algunas limitaciones, aun así, muchas de las cosas las vamos a poder medir: un edificio, un árbol, una torre, una antena, una montaña, etc. No obstante no podremos medir cuando el terreno está inclinado (bueno, sí se podría solventar, pero tampoco es plan de extenderse demasiado).

¿Y qué necesitamos?, poca cosa:

• Un trozo de papel (no tiene porque ser cuadrado, puede tener cualquier forma).
• Conocer nuestra altura.
• Conocer la longitud de nuestra zancada.

¿Y la calculadora?, para las medidas básicas no nos hace falta, para conocer la altura del objeto no necesitamos hacer ningún cálculo (bueno, como mucho alguna suma).

Bien, ya lo tenemos todo, ¿cómo debemos hacer?:

• Primero hacer con el papel un triángulo recto isósceles (un ángulo recto y los otros dos iguales). Esto es fácil, sea como sea el papel, en sólo cuatro dobles tenemos nuestro triángulo (bueno, para nuestros propósitos incluso con tres dobles ya tenemos un ángulo de 45º que es lo que buscamos).
• Luego situarnos a la distancia del objeto que sea precisa para que, poniendo uno de los catetos horizontal y una esquina de 45º en nuestro ojo, siguiendo la vista por la hipotenusa, veamos el punto más alto que queremos medir.
• Por último, a partir de ese punto, sólo tenemos que ir en línea recta contando las zancadas (bueno, cada longitud de zancada) que nos cuesta llegar al objeto, le sumamos nuestra altura y ¡voila! esa el la altura del objeto.

Consideraciones adicionales

• Si quieres asegurar que mantienes el cateto horizontal con el suelo, puedes construir una símple plomada y situarla en la esquina opuesta a tu ojo (se puede hacer incluso con un trozo de papel). Si doblas la esquina opuesta, la plomada no te molestará al mirar sobre la diagonal.
• Si quieres tener en cuenta que tus ojos no están en tu cogote, puedes restar la décima parte de tu altura, dividido por 3 y multiplicado por 2, que será aproximadamente lo que diste de tus ojos a tu cogote. Por ejemplo, si mides 1,75 metros, entonces de tus ojos a tu cogote habrá 175 centímetros, dividido por 10 son 17,5 que dividido por 3 son casi 6, que multiplicado por 2 son unos 12 centímetros.
• Si no puedes situarte en la base o no puedes acercarte al objeto, pero sí tienes una forma alternativa de medir la distancia (por ejemplo, es común tener un mapa) puedes igualmente medir la altura (luego veremos que tampoco es necesario un mapa).
• Si no te quieres alejar mucho del objeto en cuestión, en lugar de usar relación 1 a 1 (es decir, un ángulo de 45º), fácilmente puedes usar relaciones de 2 a 1, 4 a 1, 8 a 1, etc... realizando un doble más al triángulo (¡ojo! no es la mitad del ángulo, sino doblar por la mitad de un cateto). Una vez contadas las zancadas deberás multiplicar la distancia obtenida por 2, o 4, u 8, etc... ¡Cuidado! tu error cometido se multiplicará en la misma proporción.
• Si prefieres mejorar la precisión y no te importa andar, puedes usar relaciones 1 a 2, 1 a 4, 1 a 8, etc... realizando el mismo doble anterior e invirtiendo la orientación del triángulo obtenido. En este caso tus zancadas deberán ser divididas por 2, o 4, u 8, etc... siendo también dividido tu error cometido.

Medición de objetos lejanos

Si el objeto está alejado de nosotros, aún podemos calcular su altura ¡y su distancia a nosotros!, sólo que las restricciones son todavía mayores, pero no debe ser impedimento para realizar medidas aproximadas.

Supongamos que estamos de excursión y divisamos un objeto lejano: una torre de un castillo, un molino en lo más alto del pueblo... o, símplemente, está lo suficientemente lejos como para no poder (está cercado por una valla, tiene foso, ...) o querer ir andando hasta su base.

Veamos el dibujo. Normalmente, si no podemos acceder a la base del objeto, estará relativamente lejano a nosotros (o nosotros podremos alejarnos de él) con lo que los ángulos serán pequeños y por tanto, el cateto que mantenemos vertical será más pequeño que el cateto que mantenemos horizontal, así, si decimos que el cateto vertical mide 1 (un, lo que sea, da igual la medida real en centímetros o pulgadas que tenga, pues sólo nos importan las proporciones), podemos decir que el cateto horizontal mide 1,5 o 2 o 4 o ... (respecto el cateto vertical), a esta medida la llamaremos a para la primera medida (la más cercana al objeto) y la llamaremos b para la segunda medida, si hemos contado las zancadas que hemos dado para pasar del primer punto al segundo, tenemos w y por tanto, todo lo que necesitamos para saber a que distancia está el objeto y que altura tiene.

Sabemos que ^h/_d = ¹/_a y también que ^h/_(d+w) = ¹/_b, despejando obtenemos fácilmente que h = ^w/_(b-a) y una vez conocida ésta, la distancia a la base del objeto es sencillamente d=a·h. Sencillo ¿no?.

Mejorar las mediciones

Se entiende que con la sóla ayuda de un trozo de papel no es fácil lograr mediciones precisas, pero sí nos dará una idea aproximada y mucho más fiable que el "ojo de buen cubero".

Si, no obstante se desean mejores mediciones existen multitud de alternativas, aunque eso sí, más elaboradas. Por ejemplo, con sólo disponer de una regla podemos mejorar muchas de las medidas anteriores y facilitar realizarlas en cualquier situación (por ejemplo, ya no tenemos que buscar relaciones cuasi-exactas de los catetos). Si además disponemos de una cinta métrica (de éstas de 50 metros o así), la medición de distancias entre puntos de referencia o la base serán exactas. Si además tenemos un transportador de ángulos será genial, aunque en tal caso sería conveniente una calculadora (la del móvil sirve si sabe calcular tangentes), y si...

Pero en fin, uno no suele llevar un teodolíto encima...

Como doblar el papel

Como doblar el papel para obtener el triángulo:

Como doblar el papel para obtener relaciones 1 a 2 y 1 a 4:

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Opinado el 03/09/09 16:37, valoración
    muy buena informacion yuly_1106@hotmail.com.mx

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Opinado el 17/11/09 21:53, valoración
    excelente le ayudara mucho a alguien que necesita construir uno

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Opinado el 18/09/10 07:37, valoración
    

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Opinado el 12/07/12 05:40, valoración
    

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Opinado el 26/10/13 10:50, valoración
    

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Opinado el 20/01/14 02:14, valoración
    Estaba buscando algo parecido,gracias amigo

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Opinado el 03/05/15 03:27, valoración